正百二十角形 百二十角形(ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon)は、多角形の一つで、120本の辺と120個の頂点を持つ図形である。内角の和は21240°、対角線の本数は7020本である。
正百二十角形
正百二十角形においては、中心角と外角は3°で、内角は177°となる。一辺の長さが a の正百二十角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {120}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{120}}\simeq 1145.65378a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a4a6aeb076ce47ad594a577a4456c3fbabb8ac)
は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{120}}=\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c216106d9a95d61c0c4fcfad91d4b22813897281)
正弦、余弦の値
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3^{\circ }=&{\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)-2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}}\\\cos 3^{\circ }=&{\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)+2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c718da60e3823d480287ef770b3c3e2dddf06c47)
正百二十角形の作図
正百二十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。
脚注
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関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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